Lunghezza circonferenza

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Per determinare la lunghezza di una circonferenza, utilizziamo il metodo di esaustione, applicato da Archimede, che consiste nel considerare coppie di poligoni regolari con un ugual numero n di lati, di cui uno inscritto e l'altro circoscritto alla circonferenza. Aumentando sempre di più il numero di lati del poligono il valore del suo perimetro si avvicina sempre di più al valore della lunghezza della circonferenza. Archimede illustra questo procedimento nel libro “Metodo”.

I poligoni vengono suddivisi in un numero n di triangoli uguali tra loro, ognuno dei quali con un vertice nel centro della circonferenza e gli altri due vertici coincidenti con altrettanti vertici consecutivi del poligono suddiviso. I triangoli derivanti dalla suddivisione del poligono inscritto hanno base PQ di lunghezza b e altezza OM di lunghezza h, mentre quelli derivanti dalla suddivisione del poligono circoscritto hanno base RS di lunghezza b' e altezza ON di lunghezza h'. I triangoli derivanti dalla suddivisione del poligono inscritto condividono con quelli derivanti dalla suddivisione del poligono circoscritto un angolo al centro della circonferenza di ampiezza a, il cui valore dipende da n secondo la formula

                                              

Indicando con p e p’ i perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti, per i teoremi sui triangoli rettangoli si ha:

• essendo b un cateto del triangolo rettangolo MQO, b è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto

• essendo b’ un cateto del triangolo rettangolo NSO, b’ è uguale al prodotto dell’altro cateto ON=r per la tangente dell’angolo opposto

La lunghezza l della circonferenza, ricordando anche la relazione tra a ed n, risulta compresa tra i due perimetri:

Nella tabella sono riportati gli estremi dell'intervallo di questa stima al variare del numero n dei lati dei poligoni inscritti e circoscritti con una circonferenza di raggio 1.

Si nota come l'intervallo si restringe al crescere di n. Infatti i due estremi dell'intervallo costituiscono due successioni, la prima crescente , la seconda decrescente, aventi limite per n che tende a infinito uguale a 2pr.

Archimede nota inoltre che dividendo il perimetro per 2r il valore ottenuto è costante. Oggi chiamiamo questo valore pi greco. Utilizzando questo metodo di approssimazione Archimede riuscì a ottenere una prima approssimazione di pi greco 3,14.

Per osservare l’aumentare del numero di lati dei poligoni iscritti basta prendere un bastone o una barra e posizionarla sotto uno sportello con due ante a specchi. Chiudendo le ante per riflessioni successive si formano poligoni con un numero di lati sempre maggiore. Clicca sull'immagine per vedere cosa succede!

 Con l'interattivo seguente, realizzato con GeoGebra si possono calcolare area e perimetro di poligoni inscritti: muovere il punto sullo slider per variare il numero di lati.