Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

Se si opera una rotazione con centro nell’origine di 45° di un’iperbole equilatera in senso antiorario o orario gli asintoti corrisponderanno agli assi cartesiani e per questo l’iperbole si dice riferita ai propri asintoti.

Per ottenere l’equazione della conica in questa situazione, consideriamo l’equazione x²-y²=a² dell'iperbole equilatera con asintoti le bisettrici dei quadranti ottenuta nel paragrafo precedente e la ruotiamo di 45° in senso antiorario.

Le coordinate del punto P’ ottenuto effettuando una rotazione del punto P con centro nell’origine e di ampiezza a in senso antiorario sono date da:

 Per a = 45° si ha

Sostituendo nell’equazione dell’iperbole si ottiene

Sviluppando i quadrati e ricordando che si ha

da cui sommando i termini simili si ottiene 2xy=a² e quindi . Se ora si pone (possibile perché a è una costante) si ottiene l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti con i punti nel primo e terzo quadrante xy=k.

Si osservi che, essendo , k è strettamente positivo.

Essendo k≠0, x=0 non è soluzione dell'equazione xy=0, si possono quindi dividere entrambi i membri per x e ottenere l’equazione equivalente in forma esplicita:

L’equazione dell’iperbole con punti nel secondo e quarto quadrante è , ottenuta osservando che il suo grafico è simmetrico di  rispetto all’asse x. Infatti l’equazione della funzione simmetrica di y=f(x) rispetto all’asse x ha equazione y=-f(x). Riassumendo l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti risulta essere

 con k≠0 (se k>0 punti nel 1-3 quadrante, se k<0 nel 2-4) 

Gli asintoti sono gli assi cartesiani, gli assi di simmetria le bisettrici dei quadranti, i vertici se k>0 e , se k<0 e .

Questa curva è una funzione avente dominio tutti i numeri reali diversi da 0 ed è importantissima perché rappresenta la relazione di proporzionalità inversa.