8. Classificazione delle coniche

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Finora abbiamo utilizzato equazioni cartesiane di coniche solo in casi particolari (circonferenza a parte!), dette forme canoniche delle coniche. Ma cosa succede se una parabola ha l’asse di simmetria non parallelo a uno dei due assi coordinati o se un’ellisse non ha centro nell’origine?

Queste coniche si possono ottenere da quelle di cui conosciamo l’equazione attraverso delle trasformazioni geometriche come traslazioni, rotazioni, simmetrie centrali o assiali e similitudini.

   

Una conica reale è l'insieme dei punti (x,y) in cui si annulla un polinomio di secondo grado in x e y. L'equazione cartesiana della conica può essere scritta nella forma:

dove i coefficienti a_ij sono numeri reali assegnati.

Tale equazione è univocamente determinata dalla matrice simmetrica

Sia inoltre

Indichiamo con A' e B' le matrici corrispondenti alla stessa conica, ma espressa nella sua forma canonica. Allora si può dimostrare che alcune caratteristiche delle matrici A, A', B e B', sono uguali (invarianti). Questo fatto permette di riconoscere la conica rappresentata dall’equazione sopra scritta solo studiando le matrici A e B.

Ad esempio per riconoscere una parabola consideriamo la sua forma canonica y=ax², cioè ax²-y=0

Quindi

Si può dimostrare che se detA≠0 e detB=0 si ha sempre una parabola.

Non sempre tuttavia l’equazione a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃=0 rappresenta una conica. Infatti per esempio se il polinomio al primo membro si scompone in due fattori di primo grado, per la legge di annullamento del prodotto avremo l’equazione di due rette:

x²-y²=0 è degenere nelle due rette x+y=0 e x-y=0.

In generale si può dimostrare che la conica

• è degenere ⇔ detA=0 cioè rangoA<3
• non è degenere⇔ detA≠0 cioè rangoA=3

Prima di passare alla classificazione delle coniche in base all’equazione definiamo C=(c₁,c₂) il punto, se esiste, le cui coordinate c₁ e c₂ soddisfano il sistema