4. Ellisse

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Si chiama ellisse l’insieme dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante. 

Vediamo come i giardinieri creano aiuole a forma di un’ellisse.

 Costruzione di un’ellisse con il metodo del giardiniere. (cliccare sull’immagine per vedere il video)

L’equazione dell’ellisse in forma canonica

Si vuole determinare l’equazione dell’ellisse avente centro nell’origine O del sistema di riferimento e fuochi simmetrici rispetto all’origine e su uno dei due assi cartesiani.

Considerati i due fuochi sull’asse delle ascisse nei punti di coordinate F₁=(-f,0) e  F₂=(f,0), indichiamo con 2a (a>f) la somma delle distanze del punto dell’ellisse dai due fuochi. Allora

P∈ Ellisse ⇔ distanza(P, F1) + distanza(P, F2) = 2a

 

quindi, utilizzando la formula della distanza tra due punti nel piano, si ha

   

Elevando entrambi i membri al quadrato, sviluppando i quadrati di binomi, sommando i termini simili e dividendo per 4 entrambi i membri si ottiene

Elevando nuovamente e svolgendo quadrati e prodotti e riducendo si ha

Ponendo poi a²-f²=b², (possibile perchè a>f) e dividendo entrambi i membri per a²b²  si ottiene l’equazione cercata dell’ellisse

I vertici sono i punti di coordinate V₁=(a,0) V₂=(0,b) V₃=(-a,0)  V₄=(0,-b).

Se a>b i fuochi sono sull’asse x. Se a<b i fuochi sono sull’asse y, ma l’equazione dell’ellisse e le coordinate dei vertici non cambiano.

Ellisse con a<b

Se a=b è una circonferenza con centro nell’origine e raggio r=a=b.