7. Eccentricità

Una conica può essere definita come insieme di punti anche nel seguente modo: dati una retta d e un punto F non appartenente a essa una conica è il luogo dei punti del piano per i quali è costante il rapporto e tra la distanza di P da F e da d.

Il rapporto e è detto eccentricità della conica.

Per la parabola è immediato dedurre dalla definizione classica che e=1: dalla relazione sopra per e= 1 si ottiene infatti

Vediamo di dimostrare che la definizione qui data per e<1 è equivalente a quella classica anche per l’ellisse.

Detta H la proiezione di P su d si ha quindi

Poniamo F=(f,0) e con a > f ed  e cerchiamo i punti P(x,y) che soddisfino la definizione della conica .

Essendo ,  e

si ha

da cui elevando e riducendo si ottiene

Ponendo poi a²- f ² = b², (possibile perchè a>f) e dividendo entrambi i membri per a²b²  si ottiene l’equazione cercata dell’ellisse e quindi le due definizioni sono equivalenti.

Si può procedere con una dimostrazione analoga per l’iperbole con  e>1.