Introduzione alle coniche

Si chiama sezione conica, o semplicemente conica, una curva piana luogo dei punti ottenibili intersecando la superficie di un cono circolare retto con un piano.

Per capire meglio, se si accende una torcia elettrica, la lampadina formerà un cono di luce che ha come vertice il filamento della lampadina, e come asse la retta che passa per quest'ultimo e per il centro della lente. Dirigendo il raggio luminoso verso una parete, la parte illuminata assumerà forme diverse, a seconda dell'inclinazione dell'asse: questa volta incliniamo il cono anziché il piano.

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1. Se il muro viene illuminato in modo perpendicolare (cioè se l'asse del cono di luce è perpendicolare alla parete), la figura che si forma è un cerchio, tanto più grande quanto maggiore è la distanza della lampadina dalla parete.
2. Se ora si comincia a inclinare lentamente la torcia, il cerchio si deforma assumendo una forma delimitata da una linea dapprima quasi circolare, poi sempre più allungata: un'ellisse.
3. Quando il raggio più esterno del fascio di luce diventa parallelo alla parete si ha una parabola.
4. Ruotando ancora un po' la torcia il raggio più esterno diverge dalla parete, e si ottiene un ramo di iperbole. Per avere l'iperbole completa servirebbe un cono completo.

Le sezioni coniche sono state studiate in epoca ellenistica, in particolare da Menecmo ed Apollonio di Perga intorno al 300/200 a.C.; questi diede anche i nomi tuttora in uso per i tre tipi fondamentali di sezioni coniche: ellisse dal greco ἔλλειψιςche significa mancanza (e circonferenza come caso particolare), parabola dal greco παραβολήche significa gettare accanto, confrontare e iperbole dal greco ὑπερβολήche significa gettare oltre.

Il motivo dell'attribuzione di questi nomi è una relazione che sussiste tra le aree di un quadrato e un rettangolo legati alle coniche, che per la parabola risultano uguali, per l'ellisse la prima risulta minore della seconda e per l'iperbole la prima risulta maggiore della seconda.

Ad esempio per la parabola, preso un punto P qualsiasi su di essa, detti H l’intersezione della perpendicolare da P all’asse di simmetria della parabola, V il vertice ( intersezione della parabola con l’asse di simmetria) e dato un numero f fisso risultano equivalenti il quadrato di lato PH e il rettangolo con base VH e altezza 4f.

Solo dopo circa 1800 anni lo studio delle coniche venne ripreso da Galileo (moto di un proiettile), Cartesio, Keplero, Pascal e Newton che utilizzarono le coniche applicate a scoperte scientifiche di vario genere. Fu inoltre introdotto il nuovo metodo basato sulle coordinate cartesiane, che collega la geometria all’algebra.